为什么要引入齐次坐标（Homogeneous Coordinates）？引入齐次坐标的目的式为了更好的表示无限远（infinity）的坐标的概念，在欧式空间中，无限大或者无限小的坐标的并不存在，不能用数值表示一个坐标的 xy 分量是无限大或者无限小的。所以引入了齐次坐标的概念。
齐次坐标在 CAD 中十分重要，曲线（curve）和曲面（surface）设计都与之有关。另外矩阵变换也用到了齐次坐标的概念。
现在有两个数 a 和 w，尝试计算 a/w 的值，当 w 趋近于 0 时，a/w 的值越来越接近无穷大（或者无穷小）。齐次空间中为了描述 Infinity 的坐标，使用 a 和 w=0 两个数值表示，即 (a, 0)。
齐次坐标比笛卡尔坐标多了一个 w 分量，即 (x, y, w)。齐次坐标对应的笛卡尔坐标为 x 和 y 分量除以 w 分量，即 (x/w, y/w)。
w 可以为任意值，所以下面的齐次坐标表示的笛卡尔坐标实际为同一个，都是 (1, 2)：
w=1: (1, 2, 1) => (1/1, 2/1) => (1, 2)
w=2: (2, 4, 2) => (2/2, 4/2) => (1, 2)
2=3: (3, 6, 3) => (3/3, 6/3) => (1, 2)
当 w=0，x/w 趋近于无穷，此时齐次坐标表示的是无限远的点，如果用笛卡尔坐标，是无法描述无限远坐标的。
注意：从齐次坐标转到笛卡尔坐标式唯一的(x/w, y/w)，但是将常规坐标转换为齐次坐标却不是唯一的，w 可以是任意非 0 值。
现有多项式 f(x, y)=0, 将 x 和 y 用 x/w 和 y/w 替换得到 f(x/w,y/w)=0，即齐次坐标系中的多项式。
例如：
Ax + By + C = 0
变为
Ax/w + By/w + C = 0
每一项再乘以 w^n，n 为多项式的次数：
Ax + By + Cw = 0
此时可以看到多项式的每一项都是一次的 Ax、By 和 Cw，即齐次。
再以二次多项式 Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 为例，将 x/w 和 y/w 带入多项式，然后乘以 W^2 得到：
Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + 2Dxw + 2Eyw + Fw^2 = 0
此时多项式的每一项的都是二阶的。
上面的过程也可以反过来，给定齐次坐标系中的多项式，得到常规多项式：将齐次坐标系多项式每一项除以 w^n，然后用 x 和 y 替换 x/w 和 y/w。
正如本页开头提到的，齐次坐标可以轻松捕捉无穷大的概念。固定点 (x , y) 并通过乘以 1/ w 得到 齐次坐标 (x/w,y/w,1/w) 。让 w 的值趋近于零，则 (x/w,y/w)沿着 (x,y) 的方向越来越远。当 w 变为零时，(x/w, y/w) 趋于无穷大。因此，我们可以说，齐次坐标 (x ,y ,0) 是 (x , y) 方向上的理想点或无穷远点。
让我们看一个例子。令 (3,5) 为 xy 平面上的点。考虑 (3/ w ,5/ w )。如果 w 不为零，则该点位于直线 y = (5/3)x 上。或者，也可以用向量表示，(3/w ,5/ w) 是直线 O + (1/ w )d 上的点，其中基点 O 是坐标原点，d 是方向向量 <3 ,5>。 因此，当 w 接近零时，该点将移动到直线上的无穷远。这就是为什么说 ( x, y,0) 是理想点或 (x,y) 方向上的无穷远点。
(完)